定理 5.1.3（连续性的序列准则）
函数 $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $c \in A$ 处连续，当且仅当对于每个收敛到 $c$ 的在 $A$ 中的序列 $(x_n)$，序列 $(f(x_n))$ 收敛到 $f(c)$。
证明：
假设 $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $c \in A$ 处连续。假设序列 $(x_n)$ 在 $A$ 中收敛到 $c$。给定 $\varepsilon > 0$。由定义 5.1.1，存在 $\delta > 0$ 使得对于所有 $x \in A$，若 $| x – c | < \delta$，则 $| f(x) – f(c) | < \varepsilon$。由于序列 $(x_n)$ 收敛到 $c$，存在 $K(\delta) \in \mathbb{N}$ 使得对于所有 $n > K(\delta)$，都有 $| x_n – c| < \delta$。因此，对于所有 $n > K(\delta)$，$| f(x_n) – f(c) | < \varepsilon$。所以，序列 $(f(x_n))$ 收敛到 $L$。 反过来，我们通过反对称法进行证明。如果 $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $c \in A$ 处不连续，那么存在 $f(c)$ 的 $\varepsilon$-邻域，使得对于所有 $c$ 的 $\delta$-邻域，都存在一个点 $x_\delta \in A \cap V_\delta(c)$ 但是 $f(x_\delta) \notin V_\varepsilon(f(c))$。所以，对于所有 $n \in \mathbb{N}$，$c$ 的 $(1/n)$-邻域，即 $V_{1/n}(c) = {x \in A : 0 < |x – c| < 1/n}$，存在一个点 $x_{n} \in A \cap V_{1/n}(c), x_{n} \ne c$ 但是 $f(x_{n}) \notin V_\varepsilon(f(c)) = \{y \in \mathbb{R} : |y – f(c)| < \varepsilon\}$。所以，序列 $(x_n)$ 收敛到 $c$，但是 $f(x_n)$ 不收敛到 $f(c)$。$_{Q.E.D.}$
定理 5.2.6
设 $A, B \subseteq \mathbb{R}$ 并且设 $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ 和 $g : B \rightarrow \mathbb{R}$ 是函数，使得 $f(A) \subseteq B$。如果 $f$ 在 $c \in A$ 处连续，并且 $g$ 在 $b = f(c) \in B$ 处连续，那么复合函数 $g \circ f : A \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $c$ 处是连续的。
证明：
由于 $g$ 在 $b$ 处连续，存在 $\delta > 0$，使得对于所有在 $B$ 中的 $x$，如果 $| x – b | < \delta$，则 $| g(x) – g(b) | < \varepsilon$。由于 $f$ 在 $c$ 处连续，存在 $\gamma > 0$，使得对于所有在 $A$ 中的 $x$，如果 $| x – c | < \gamma$，则 $| f(x) – f(c) | < \delta$。由于 $f(A) \subseteq B$，如果存在在 $A$ 中的 $x$ 使得 $| x – c | < \gamma$，那么 $f(x) \in B$，所以 $| f(x) – f(c) | = | f(x) – b | < \delta$ 蕴含 $| g(f(x)) – g(b) | < \varepsilon$。$_{Q.E.D.}$