定理 5.1.3（连续性的序列准则）
函数 $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $c \in A$ 处连续，当且仅当对于每个在 $A$ 中收敛到 $c$ 的序列 $(x_n)$，序列 $(f(x_n))$ 收敛到 $f(c)$。
证明： 假设 $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $c \in A$ 处连续。设序列 $(x_n)$ 在 $A$ 中收敛到 $c$。给定 $\varepsilon > 0$。由定义 5.1.1，存在 $\delta > 0$，使得对所有 $x \in A$，若 $|x – c| < \delta$，则 $|f(x) – f(c)| < \varepsilon$。又因 $(x_n) \to c$，存在 $K(\delta) \in \mathbb{N}$，使得当 $n > K(\delta)$ 时，$|x_n – c| < \delta$，从而当 $n > K(\delta)$ 时，$|f(x_n) – f(c)| < \varepsilon$。因此 $(f(x_n)) \to f(c)$。 反过来，用反证法：若 $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $c \in A$ 处不连续，则存在 $\varepsilon > 0$，使得对于任意 $\delta > 0$，都可取 $x_\delta \in A \cap V_\delta(c)$ 满足 $f(x_\delta) \notin V_\varepsilon(f(c))$。于是对每个 $n \in \mathbb{N}$，在 $c$ 的 $(1/n)$-邻域 $V_{1/n}(c) = \{x \in A : 0 < |x – c| < 1/n\}$ 中取 $x_n \in A \cap V_{1/n}(c)$ 且 $x_n \ne c$，并有 $f(x_n) \notin V_\varepsilon(f(c)) = \{y \in \mathbb{R} : |y – f(c)| < \varepsilon\}$。于是 $(x_n) \to c$，但 $f(x_n)$ 不收敛到 $f(c)$。 $_{Q.E.D.}$
定理 5.2.6
设 $A, B \subseteq \mathbb{R}$，并设 $f : A \rightarrow \mathbb{R}$、$g : B \rightarrow \mathbb{R}$，且 $f(A) \subseteq B$。如果 $f$ 在 $c \in A$ 处连续，且 $g$ 在 $b = f(c) \in B$ 处连续，则复合函数 $g \circ f : A \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $c$ 处连续。
证明： 由 $g$ 在 $b$ 处连续，存在 $\delta > 0$，使得对所有 $x \in B$，若 $|x – b| < \delta$，则 $|g(x) – g(b)| < \varepsilon$。又由 $f$ 在 $c$ 处连续，存在 $\gamma > 0$，使得对所有 $x \in A$，若 $|x – c| < \gamma$，则 $|f(x) – f(c)| < \delta$。由于 $f(A) \subseteq B$，当 $|x – c| < \gamma$ 时，$f(x) \in B$ 且 $|f(x) – b| < \delta$，从而 $|g(f(x)) – g(b)| < \varepsilon$。这表明 $g \circ f$ 在 $c$ 处连续。 $_{Q.E.D.}$